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Wochentagszahlen für die 12 Monatsersten eines Jahres

Berechnung der Wochentage
Siehe auch Grundlagen im Astronomiebuch im Abschnitt 6.12 ab Seite 72.
Die Berechnung wird mit einem wissenschaftlichen HP-Taschenrechner durchgeführt

Verfasser: Otto Praxl




Einleitung

Um die Wochentagsnamen für ein bestimmtes Kalenderdatum berechnen zu können, bedient man sich der Nummerierung der Wochentage.

0 = Sonntag
1 = Montag
2 = Dienstag
3 = Mittwoch
4 = Donnerstag
5 = Freitag
6 = Samstag.

Grundsätzlich läuft die Reihenfolge der Wochentage seit Beginn der Zählung des Julianischen Datums (JD) vom 1. Januar des Jahres 4713 vor Chr. (war ein Montag) ungestört bis zum heutigen Tage durch. Daran hat auch die Umstellung des Julianischen Kalenders auf den Gregorianischen Kalender im Jahre 1582 nichts geändert.

Bei dieser Kalenderumstellung wurden wegen der Differenzen zwischen dem astronomischen Frühlingsanfang und dem kalendarischen Datum des 21. März einfach 10 Tage aus dem Kalender herausgenommen, damit der astronomische Frühlingsanfang wieder auf den 21. März fiel. Man ließ einfach auf
den 4.10.1582 (Donnerstag) gleich einen Freitag (15.10.1582) folgen. Bei dieser Gelegenheit wurde auch gleich die alte Schaltjahrregelung angepasst, die der Grund für die genannten Differenzen war. Die Jahreslänge wurde von 365,25 Tagen des Julianischen Kalenders auf die Länge des astronomischen Jahres festgelegt, die genau 365,242198781 Tage zu 24 Stunden beträgt. Nachzulesen in jedem Astronomiebuch, z.B. auch im Astronomiebuch des Verfassers.

Schaltjahrregel für den Gregorianischen Kalender (GK):
    Schaltjahr ist jedes Jahr, dessen Jahreszahl durch 4, aber nicht durch 100,
    oder

    Schaltjahr ist jedes Jahr, dessen Jahreszahl
durch 400

    teilbar ist.

Das Kalenderjahr hat jetzt im Mittel die Länge: 365 + ¼ - 1/100 + 1/400 = 365,2425 Tage.


Berechnungsgrundlage für die Wochentagszahl

Da die Berechnung der Wochentage des Julianischen Kalenders (der bis zum Jahre 1582 galt) wegen der erforderlichen Berechnung des JD etwas komplizierter ist als beim Gregorianischen Kalender (gilt seit dem 15.10.1582) beschränken wir uns auf diesen.
Da der 15.10.1582, wie oben erwähnt, ein Freitag war, war der 17.10.1582 folglich ein Sonntag. Hier beginnen wir die Berechnung des Day of Week (DOW). Wir berechnen die Anzahl der Tage vom 17.10.1582 an bis zum gewünschten Kalenderdatum mit der Taschenrechnerfunktion DDAYS
(Difference of days) oder als Differenz des JD beider Tage. Die Zahl wird durch 7 geteilt, der Divisionsrest ist die Wochentagszahl für dieses Kalenderdatum.

Beispiel:
Welche Wochentagszahl hat der 1. Januar 2013?
Vom 17.10.1582 bis zum 01.01.2013 sind es 157131 Tage.
Geteilt durch 7 ergibt 22447,285714 Wochen. Der Rest von 0,285714 Woche =
0,285714 x 7 = 2 Tage. Dies ist die Wochentagszahl 2, die zu einem Dienstag gehört.
Oder einfach mathematisch ausgedrückt: 157131 mod 7 = 2. Die Modulofunktion wird auch beim Taschenrechnerprogramm benutzt.

Die Anzahl der Tage zwischen den beiden Kalendertagen wird durch eine Taschenrechnerfunktion ermittelt.
Oder bei Vorliegen der JD der beiden Kalendertage werden diese einfach subtrahiert:
JD vom 01.01.2013 = 2456294
JD vom 17.10.1582 = 2299163
Differenz: 157131 Tage.

Taschenrechner-Programm DOW
Bild 1 zeigt das Programm DOW für den HP-Taschenrechner. Es ist sehr einfach aufgebaut.
Es erwartet das Kalenderdatum im HP-Format DD.MMYYYY (Tag, Monat, Jahr) im Stack und gibt die Wochentagszahl im Stack zurück.


Bild 1
Programm DOW
Bild 2
Menüpunkte des Programmsystems


Wochentagszahlen für die Monatsersten eines Jahres
Um die Wochentagszahlen für die 12 Monatsersten eines Jahres berechnen zu können, wurde ein Programmsystem mit 6 Programmen für den HP-Taschenrechner entwickelt, das unter dem Namen WOTZahlen.txt heruntergeladen werden kann.
Bild 2 zeigt das Menü mit den 6 Programmen:


Bild 3
Ergebnis der Berechnung für eine Jahreszahl
Bild 4
Ergebnisse der
                    Folgeberechnungen mi NJ

WOTZ
(Wochentagszahl) ist das Hauptprogramm. Es erwartet eine gültige Jahreszahl zwischen 1583 und 9999 in der Eingabezeile. Es speichert diese Jahreszahl in der Variablen JZ und gibt dann diese Jahreszahl und eine Liste mit den 12 Wochentagszahlen zurück (Bild 3).
Das Programm NJ (Nächstes Jahr) erhöht die
in JZ gespeicherte Jahreszahl um 1 und berechnet erneut die 12 Wochentagszahlen. Die Ausgabe ist in Bild 4 in kleinerer Schrift dargestellt. Mit dem Programm FONT kann man auf die andere Schriftgröße umschalten.

Bild 5
Hilfe-Text

Bild 6
Meldung bei fehlender Eingabe


Bild 7

Fehlermeldung bei falschem Objekttyp

Bild 8

Fehlermeldung bei zu großer Jahreszahl

Bild 5 zeigt den Hilfe-Text, der mit HILFE aufgerufen wird. Der Bildschirm wird geleert und der Hilfe-Text angezeigt. Mit einer beliebigen Menü-Taste kehrt man zum leeren Bildschirm zurück.
Bild 6 zeigt die Reaktion des Programms WOTZ, wenn keine Eingabe im Stack erfolgt ist.
Bild 7 zeigt die Fehlermeldung, wenn ein falscher Objekttyp im Stack steht.
Bild 8 zeigt die Fehlermeldung, wenn die Jahreszahl zu groß ist.
Bild 7 und 8 zeigen in der untersten Stackzeile, welche Eingabe die Fehlermeldung ausgelöst hat. Diese muss mit OK quittiert werden.

Dauerkalender
Mit diesen Wochentagszahlen kann ein Dauerkalender für einen bestimmten Zeitraum hergestellt werden. Man ordnet die Wochentagszahlen der 12 Monatsersten den Jahreszahlen zu und stellt alles in einer Tabelle dar.
Ein Beispiel ist der Dauerkalender von 1883 bis 2130, der auch im schon erwähnten Astronomiebuch auf Seite 81 abgedruckt ist.


Die Gregorianische Periode

Eine Gregorianische Periode zählt genau 400 Jahre, die mit einer durch 400 teilbaren Jahreszahl (Schaltjahr) beginnt. Man nennt diese Periode so, weil sie durch die im Jahre 1582 erfolgte Gregorianische Kalenderreform bedingt ist.

Eine Gregorianische Periode hat genau 400 x 365 = 146000 normale Tage. In jedem vierten Jahr kommt ein Schalttag dazu, das sind insgesamt 100 Schalttage. Nun müssen die Jahre ohne Schalttag abgezogen werden:
die Jahre 1700, 1800 und 1900 sind keine Schaltjahre, (ebenso 2100, 2200 und 2300, wie 2500, 2600 und 2700) , also werden pro Gregorianische Periode 3 Schalttage abgezogen. Insgesamt: 146000 + 100 - 3 = 146097 Tage. Da diese Zahl durch 7 ohne Rest teilbar ist, besteht eine Gregorianische Periode aus 146097 / 7 = 20871 vollständigen Wochen.

Diese Eigenschaft hat zur Folge, dass jede Gregorianische Periode mit einem Samstag beginnt und mit einem Freitag endet.
Beispiele:
1. Gregorianische Periode: Samstag, 01.01.1600 bis Freitag 31.12.1999,
2. Gregorianische Periode: Samstag, 01.01.2000 bis Freitag 31.12.2399,
3. Gregorianische Periode: Samstag, 01.01.2400 bis Freitag 31.12.2799.

Daraus folgt, dass sich der Wochentag eines bestimmten Kalenderdatums (Tag und Monat) alle 400 Jahre wiederholt.
Z. B. war
der 31.05.1617 ein Mittwoch, also sind der 31.05.2017 und der 31.05.2417 auch ein Mittwoch.
Die willkürlich erscheinende Gregorianische Kalenderreform hat zwar die vorgegebene Ordnung des Julianischen Kalenders gestört, aber die
Gregorianische Periode brachte wieder eine mathematische Ordnung in den Kalenderverlauf.

Freitag, der Dreizehnte
Aus dem Dauerkalender entnehmen wir a
lle Monate, bei denen der Dreizehnte auf einen Freitag fällt. 
Wenn der Dreizehnte ein Freitag ist, dann war der Erste desselben Monats ein Sonntag mit der Wochentagszahl 0, wie jeder leicht nachrechnen kann.
Wenn wir aus den Wochentagszahlen der Monatsersten im rechten Teil des Dauerkalenders alle Nullen heraussuchen, haben wir alle Monate, bei denen der Dreizehnte ein Freitag ist. Im Jahr 2017 ist das der Januar und der Oktober.

Mit dem Dauerkalender und den Wochentagszahlen kann man manche Spielereien veranstalten.
Dies wird hier nicht vorgeführt, das können die Leser selber ausprobieren.


© 2017 Otto Praxl
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