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Berechnung der Zahl π

Dieser Beitrag zeigt einige Besonderheiten bei der Berechnung der Zahl π .
Die im Beitrag vom Verfasser entwickelte Formel trifft experimentell zu.
Sie soll ein Anstoß dazu sein, die aufgezeigte Systematik zu diskutieren.

Verfasser: Otto Praxl

Inhalt

Einleitung
Der genaue Wert von π
Merkwürdige Besonderheiten
Betrachtung von Teilsummen
Aufbau von Teilsummen
Systematik der Bildung von Teilsummen
Systematik der Abweichungen
Schlussfolgerung aus den Resultaten
Hinweise zu den Formeln
Danksagung

Einleitung

Die Kreiszahl π (gesprochen: Pi), auch Ludolphsche Zahl genannt, kann mit Hilfe der vier Grundrechenarten auf verschiedene Weise ermittelt werden. Hier wird die alternierende Reihe der zyklometrischen Funktion (Arcusfunktion) arctan verwendet (Leibnizsche Reihe):

π/4 = arctan 1 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + - ...
π  = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + - ...

Diese Reihe kann mit folgender Summenformel (Formel 1) berechnet werden:

Formel 1: Summenformel für die
          alternierende Reihe

n und k sind natürliche Zahlen.
k sollte geradzahlig (k mod 2 = 0) sein.
Für die genaue Summe der Reihe setzt man k .

Man kann eine andere Summenformel (Formel 2) für diese alternierende Reihe entwickeln, wenn man jeweils einen positiven Summanden mit dem unmittelbar nachfolgenden negativen Summanden zu einem Summandenpaar zusammenfasst. Dann hat man nur die Hälfte Berechnungen bis zu einer bestimmten Genauigkeit durchzuführen (m = k/2).

Formel 2: Summenformel für
          Summandenpaare

i und m sind natürliche Zahlen. i ist die Nummer des Summandenpaares und m die obere Grenze der Berechnung. Für die genaue Summe der Reihe setzt man m .

Randbedingungen

Es ist bekannt, dass die oben angegebene alternierende Reihe sehr langsam konvergiert. Aber sie weist einige Besonderheiten auf, die in diesem Beitrag aufgezeigt werden und die zu einer Behauptung und zu einer neuen Formel führen.

Wenn der Leser die im Text angegebenen Zahlen nachrechnen will, wird empfohlen, ein Programm zur Berechnung dieser alternierenden Reihe (z.B. für einen Taschenrechner oder für den PC) zu erstellen. Das Programm soll nur dazu dienen, die Werte für die nachstehenden Tabellen schnell (und möglichst genau) zu berechnen.

Der Verfasser verwendet hier den Taschenrechner HP 49G mit der "normalen" Genauigkeit von 12 signifikanten Stellen für Dezimalzahlen. Die Systematik der Bildung von Teilsummen ist gerade bei dieser geringen Genauigkeit gut zu erkennen. Auf diesem Taschenrechner können mit dem Zahlentyp longfloat (das ist eine spezielle Formelbibliothek) auch genauere Berechnungen vorgenommen werden. Der Zahlentyp longfloat wurde für den genauen Wert von π und einige Tabellenwerte der Tabellen 9 und 10 verwendet.

Darstellung der Zahlen im Text und in den Tabellen:

Die grün dargestellten Ziffern stimmen mit der endgültigen Zahl π überein, rot gekennzeichnete Ziffern sind ungenau (Ungenauigkeiten der Berechnung). Die schwarzen Ziffern inmitten der grünen "sind noch nicht fertig berechnet", sie werden am Schluss der Berechnung durch einfache Addition eines berechneten Grenzwertes in genaue (grüne) Ziffern verwandelt.

Berechnung mit Summenformel

Bildschirmabzug: Summenfunktion
          des HP 49G

Bei der Summenformel ist die Laufvariable n zugleich auch die Nummer (Position) des Summanden in der Reihe. Die an der Berechnung beteiligte Anzahl der Summanden nennen wir k, sie soll geradzahlig sein. Die Summenfunktion des Taschenrechners (siehe Bild ) wird sehr langsam ausgeführt, außerdem konvergiert die Reihe sehr langsam. Beim Taschenrechner sind die Ergebnisse in den letzten beiden Kommastellen ungenau, weil sich interne Rundungen bei der Berechnung der vielen tausend Summanden im Ergebnis auswirken.

Der genaue Wert von  π

π ist eine irrationale, transzendente Zahl mit unendlich vielen Kommastellen.

Irgendwelche Gesetzmäßigkeiten in der Reihenfolge der Ziffern der Zahl  π oder auch in der Reihe der Kettenglieder bei Darstellung durch einen Kettenbruch sind nicht zu erkennen. Die einzige Gesetzmäßigkeit ist die oben angegebene alternierende Reihe (und andere Formeln) zur Berechnung dieser Zahl.

Mit dem Taschenrechner (über longfloat) hat der Verfasser 100 Kommastellen dieser Zahl berechnet:

π  =
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
   58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ...

Kettenbruch (continuous fraction) für π (vom Verfasser mit Taschenrechner berechnet):

Kettenbruch für
  π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,
       6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,8,1,7,1,2,3,7,1,2,1,1,12,1,1,1,3,1,1,8,1,1,2,1,6,1,
       1,5,2,2,3,1,2,4,4,16,1,161,45,1,22,1,2,2,1,4,1,2,24,1,2,1,3,1,2,1,1,10,2, ...]

Genaueres über Kettenbrüche ist in den Büchern "Die Lehre von den Kettenbrüchen" von Oskar Perron zu finden:

erschienen bei der Wissenschaftlichen Buchgesellschaft Darmstadt 1977 als reprografischer Nachdruck der im Verlag B. G. Teubner 1957 erschienenen Originalausgabe.

Merkwürdige Besonderheiten

Bei den Berechnungen der alternierenden Reihe fällt auf, dass bei einer bestimmten Anzahl von Summanden (k ≥ 1000 und k mod 100 = 0)
bemerkenswerte Näherungswerte
für  π herauskommen, bei denen hinter dem Komma mehrere aufeinander folgende Ziffern mit dem genauen
Wert von  π identisch sind, während vereinzelte Kommastellen dazwischen nicht übereinstimmen (siehe Spalte 3 der Tabelle 1).
Dieses Verhalten widerspricht (scheinbar) der Konvergenz einer Reihe, bei der die Summanden(paare) immer kleiner werden und
die richtigen Ziffern sich kontinuierlich von links nach rechts aufbauen müssten.

Durch systematische Berechnung wird gezeigt, dass dies kein Zufall ist. Es kann eine Systematik für die Bildung von Teilsummen und Korrekturwerten festgestellt werden. Diese Systematik führt zu einer neuen Formel, mit der es mittels der oben genannten alternierenden Reihe mit relativ wenigen Summanden möglich ist, die Zahl  π auf die erwünschte Zahl der Nachkommastellen zu berechnen.

Tabelle 1 zeigt das (überraschende) Ergebnis.

Tabelle 1
Summanden Anzahl k der
Summanden
Startwert für π
aus k Summanden
Grenzwert
1/k
Korrekturwert
1/(4k3)
n von 1 bis 1000 1000 3.14059265382 0.001 2.5 · 10-10
n von 1 bis 2000 2000 3.14109265358 0.0005 3.125 · 10-11
n von 1 bis 2500 2500 3.14119265360 0.0004 1.6 · 10-11
n von 1 bis 5000 5000 3.14139265356 0.0002 2.0 · 10-12
n von 1 bis 10000 10000 3.14149265355 0.0001 2.5 · 10-13
n von 1 bis 20000 20000 3.14154265354 0.00005 3.125 · 10-14
n von 1 bis 50000 50000 3.14157265356 0.00002 2.0 · 10-15
n von 1 bis 100000 100000 3.14158265348 0.00001 2.5 · 10-16

In allen Zeilen der Tabelle 1 ergeben Startwert + Grenzwert + Korrekturwert den Wert von  π auf mindestens 12 Kommastellen genau. Die Restglieder sind verschwindend klein und sind in Tabelle 1 weggelassen worden.

Betrachtung von Teilsummen

Zur Untersuchung der genannten Besonderheiten werden erst einmal Teilsummen gebildet:

Die Werte wurden bewusst aufgerundet, um die Auffälligkeiten der Ergebnisse klar aufzuzeigen.

Tabelle 2
Summanden Anzahl k der
Summanden
(Teil-)Summen
n von 1 bis 20000 20000 3.14154265354
n von 20001 bis 30000 10000 () + 1/60000
n von 30001 bis 40000 10000 () + 1/120000
n von 40001 bis 50000 10000 () + 1/200000
Summe für Summanden
n von 1 bis 50000
50000 = 3.14157265356

Für die Summanden n von 1 bis 50000 ergibt sich aus der Summenformel der Wert 3.14157265356 (siehe Tabelle 1), der sich aber auch durch Addition der Werte nach Tabelle 2 ergibt.

Die Summe der drei Teilsummen 1/60000 + 1/120000 + 1/200000 ergibt 3/100000 = 0.00003. Dies bedeutet, dass die Summanden 20001 bis 50000 einzig und allein nur die 5. Kommastelle verbessern.

Aufgrund obiger Berechnungsergebnisse kann man vermuten, dass eine Systematik der Bildung von Teilsummen existiert. Die Zahlenwerte sind zwar mit Ungenauigkeiten behaftet, aber die Zahlen aus dem Taschenrechner liegen verdächtig nahe an den vermuteten (theoretischen) Ergebnissen (nachstehend in blauer Schrift dargestellt).

Beispiele:

Hinweis:
k
ist die geradzahlige Anzahl der Summanden in der Berechnung.
n
ist die Nummer (Position) des Summanden in der Reihe.
Der Summand n hat den Wert [4/x · (-1)n+1], wobei x = 2n-1 gilt (siehe Formel 1).

k = 250 Summanden (x = 501, n von 251 bis 500):
4/501 - 4/503 + 4/505 - 4/507 + - ... + 4/993 - 4/995 + 4/997 - 4/999
= 1.9999860004 · 10-3 1/500.

k = 500 Summanden (x = 1001, n von 501 bis 1000):
4/1001 - 4/1003 + 4/1005 - 4/1007 + - ... + 4/1993 - 4/1995 + 4/1997 - 4/1999
=
9.9999984736 · 10-5 1/1000.

k = 500 Summanden (x = 2001, n von 1001 bis 1500):
4/2001 - 4/2003 + 4/2005 - 4/2007 + - ... + 4/2993 - 4/2995 + 4/2997 - 4/2999
=
3.333331574 · 10-4 1/3000.

k = 500 Summanden (x = 3001, n von 1501 bis 2000):
4/3001 - 4/3003 + 4/3005 - 4/3007 + - ... + 4/3993 - 4/3995 + 4/3997 - 4/3999
= 1.66666623824 · 10-4 1/6000.

k = 500 Summanden (x = 4001, n von 2001 bis 2500):
4/4001 - 4/4003 + 4/4005 - 4/4007 + - ... + 4/4993 - 4/4995 + 4/4997 - 4/4999
=9.999998473
6 · 10-5 1/10000.

k = 500 Summanden (x = 5001, n von 2501 bis 3000):
4/5001 - 4/5003 + 4/5005 - 4/5007 + - ... + 4/5993 - 4/5995 + 4/5997 - 4/5999
=6.666665996
4 · 10-5 1/15000.

Aufbau von Teilsummen

Aus den folgenden Tabellen ist der Zusammenhang zu erkennen, nach welcher Systematik die Teilsummen von jeweils 50, 500, 5000 oder 50000 Summanden aufgebaut sind. Es fällt auf, dass die Differenzen der Nenner der Teilsummen, die hier als Bruch geschrieben sind, in einer gleichmäßigen Reihe ansteigen.

Das Ungefährzeichen "" vor den theoretischen blauen Werten in den Tabellen sagt aus, dass die berechneten Werte von diesen aufgerundeten blauen Werten abweichen.

Teilsummen aus jeweils k = 50 Summanden

Tabelle 3
Summanden Teilsumme aus
jeweils
aus k = 50
Summanden
Differenz
des Nenners
zur nächsten
Zeile
n von 51 bis 100   1/100 200
n von 101 bis 150 ≈  1/300 300
n von 151 bis 200 ≈  1/600 400
n von 201 bis 250 ≈  1/1000 500
n von 251 bis 300 ≈  1/1500 600
n von 301 bis 350 ≈  1/2100 700
n von 351 bis 400 ≈  1/2800 800
n von 401 bis 450 ≈  1/3600 900
n von 451 bis 500 ≈  1/4500 (1000)

Die Summe der Teilsummen dieser Tabelle beträgt 0.018 = 1.8 · 10-2.

Teilsummen aus jeweils k = 500 Summanden

Tabelle 4
Summanden Teilsumme aus
jeweils
k = 500
Summanden
Differenz
des Nenners
zur nächsten
Zeile
n von 501 bis 1000 ≈  1/1000 2000
n von 1001 bis 1500 ≈  1/3000 3000
n von 1501 bis 2000 ≈  1/6000 4000
n von 2001 bis 2500 ≈  1/10000 5000
n von 2501 bis 3000 ≈  1/15000 6000
n von 3001 bis 3500 ≈  1/21000 7000
n von 3501 bis 4000 ≈  1/28000 8000
n von 4001 bis 4500 ≈  1/36000 9000
n von 4501 bis 5000 ≈  1/45000 (10000)

Die Summe der Teilsummen dieser Tabelle beträgt 0.0018 = 1.8 · 10-3.

Teilsummen aus jeweils k = 5000 Summanden

Tabelle 5
Summanden Teilsumme aus
jeweils
k = 5000
Summanden
Differenz
des Nenners
zur nächsten
Zeile
n von 5001 bis 10000 ≈  1/10000 20000
n von 10001 bis 15000 ≈  1/30000 30000
n von 15001 bis 20000 ≈  1/60000 40000
n von 20001 bis 25000 ≈  1/100000 50000
n von 25001 bis 30000 ≈  1/150000 60000
n von 30001 bis 35000 ≈  1/210000 70000
n von 35001 bis 40000 ≈  1/280000 80000
n von 40001 bis 45000 ≈  1/360000 90000
n von 45001 bis 50000 ≈  1/450000 (100000)

Die Summe der Teilsummen dieser Tabelle beträgt 0.00018 = 1.8 · 10-4.

Teilsummen aus jeweils k = 50000 Summanden

Tabelle 6
Summanden Teilsumme aus
jeweils
k = 50000
Summanden
Differenz
des Nenners
zur nächsten
Zeile
n von 50001 bis 100000 ≈  1/100000 200000
n von 100001 bis 150000 ≈  1/300000 300000
n von 150001 bis 200000 ≈  1/600000 400000
n von 200001 bis 250000 ≈  1/1000000 500000
n von 250001 bis 300000 ≈  1/1500000 600000
n von 300001 bis 350000 ≈  1/2100000 700000
n von 350001 bis 400000 ≈  1/2800000 800000
n von 400001 bis 450000 ≈  1/3600000 900000
n von 450001 bis 500000 ≈  1/4500000 (1000000)

Die Summe der Teilsummen dieser Tabelle beträgt 0.000018 = 1.8 · 10-5.

Wie aus den Tabellen ersichtlich ist, liegt eine bestimmte Aufbau-Systematik vor. Ohne weitere Einzelberechnung von Summen kann man eine weitere Tabelle 7 für 500000 Summanden bilden.

Teilsummen aus jeweils 500000 Summanden

Tabelle 7
(nicht berechnet, sondern aus Tabelle 6 entwickelt)
Summanden Teilsumme aus
jeweils aus
k = 500000
Summanden
Differenz
des Nenners
zur nächsten
Zeile
n von 500001 bis 1000000 ≈  1/1000000 2000000
n von 1000001 bis 1500000 ≈  1/3000000 3000000
n von 1500001 bis 2000000 ≈  1/6000000 4000000
n von 2000001 bis 2500000 ≈  1/10000000 5000000
n von 2500001 bis 3000000 ≈  1/15000000 6000000
n von 3000001 bis 3500000 ≈  1/21000000 7000000
n von 3500001 bis 4000000 ≈  1/28000000 8000000
n von 4000001 bis 4500000 ≈  1/36000000 9000000
n von 4500001 bis 5000000 ≈  1/45000000 (10000000)

Die Summe der Teilsummen dieser Tabelle beträgt 0.0000018 = 1.8 · 10-6.

Weitere Besonderheiten

Die in Tabelle 1 festgestellte Summe der Teilsummen für die Summanden 20001 bis 50000 beträgt:

1/60000 + 1/120000 + 1/200000 = 3/100000

Sie ergibt sich auch aus den Teilsummen der Tabelle 5:

1/100000 + 1/150000 + 1/210000 + 1/280000 + 1/360000 + 1/450000 = 3/100000

Die Teilsumme der Summanden 50001 bis 100000 (1. Zeile der Tabelle 6) verbessert einzig und allein die 5. Kommastelle um 1/100000 = 0.00001, so dass sich der Näherungswert 3.14158265348 ergibt, wie aus den beiden letzten Zeilen der Tabelle 1 ersichtlich ist.

Die Teilsumme 0.000008 aus den Summanden100001 bis 500000, die sich aus den Teilsummen ab Zeile 2 der Tabelle 6 ergibt, verbessert den Näherungswert auf 3.14159065348.

Systematik der Bildung von Teilsummen

Jeweils in der dritten Spalte der obigen Tabellen ist zu sehen, dass von Zeile zu Zeile die Differenz der Nenner der Teilsummen (Nennerdifferenz) um den Wert 100, 1000, 10000 oder 100000 steigt, wenn man Teilsummen zu 50, 500, 5000 oder 50000 Summanden nimmt. Auffallend ist, dass die Nennerdifferenz in den dritten Spalten der Tabellen immer das Doppelte des Endwertes der Laufvariablen der ersten Spalten beträgt.

Auf diese Weise kann man die Teilsummen, ohne sie einzeln berechnen zu müssen, aus den fortlaufend sich ergebenden Nennerdifferenzen ermitteln und ohne großen Aufwand einfach hinschreiben.

Berechnung von π aus Startwert und Teilsummen

Zunächst muss man einen ziemlich genauen Startwert für π ausrechnen.
Wir nehmen 5000 Summanden (siehe 4. Zeile der Tabelle 1): 3.14139265356 und rechnen laufend die in den Tabellen oben ermittelten Tabellensummen dazu.

Tabelle 8
Summanden k = aus
Tabelle
Teilsummen
≈ 
Aufgelaufener
Näherungswert für
π
n von 1 bis 5 · 103 5000 1 Startwert: 3.14139265356
n von 5001 bis 5 · 104 4.5 · 104 5 + 1.8 · 10-4 = 3.14157265356
n von 50001 bis 5 · 105 4.5 · 105 6 + 1.8 · 10-5 = 3.14159065356
n von 500001 bis 5 · 106 4.5 · 106 7 + 1.8 · 10-6 = 3.14159245356
n von 5000001 bis 5 · 107 4.5 · 107 *) + 1.8 · 10-7 = 3.14159263356
n von 50000001 bis 5 · 108 4.5 · 108 *) + 1.8 · 10-8 =3.14159265156
n von 500000001 bis 5 · 109 4.5 · 109 *) + 1.8 · 10-9 = 3.14159265336
n von 5000000001 bis 5 · 1010 4.5 · 1010 *) + 1.8 · 10-10 = 3.14159265354
n von 50000000001 bis 5 · 1011 4.5 · 1011 *) **) + 1.8 · 10-11 = 3.14159265356

*) Diese Teilsummen wurden aufgrund der vermuteten Systematik der Teilsummenbildung ohne Berechnung hingeschrieben.
**) Die "normale" Genauigkeit des verwendeten Taschenrechners ist ab der Teilsumme 1.8 · 10-11 erschöpft.

Resultat:
Die normale Berechnung über die Summe der alternierenden Reihe hätte dafür 5 · 1011 = 500 Milliarden Summanden erfordert, da die Reihe sehr langsam konvergiert. Durch diese Tabellenrechnung konnte in sehr kurzer Zeit die Zahl  π auf 10 Kommastellen (3.14159265356) genau berechnet werden.

Schlussfolgerung aus der Teilsummen-Untersuchung

Die Teilsummen aller Summanden von n = 5001 bis n in Tabelle 8 bilden eine geometrische Reihe mit den Gliedern 1.8 · 10-i (i von 4 bis ),
deren Grenzwert 0.0002 = 1/5000, also 1/k, beträgt.

Man kann leicht nachrechnen, dass dieser Grenzwert 1/k auch für jede andere gerade Zahl k von Summanden zutrifft.

Systematik der Abweichungen

Nun werden in Tabelle 9 für die Korrektur der Abweichungen genauere Startwerte untersucht, die per Taschenrechner auf 24 Kommastellen genau berechnet wurden.

Jetzt wird rechnerisch untersucht, ob die noch verbliebenen Abweichungen Δz auch eine Systematik aufweisen.

Dazu wird ein Startwert für k Summanden nach Formel 1 berechnet, dann der Grenzwert 1/k gebildet und der genaue Wert von π herangezogen.

Δz  wird dann in der Tabelle nach folgender Formel

Startwert + 1/k + Δz =  π

berechnet (und sein Absolutwert aufgerundet). Δz ergibt sich als negativer Zahlenwert, weil alle Werte der Teilsummen aufgerundet wurden und damit der Grenzwert 1/k zu groß ausgefallen ist, was durch einen negativen Wert für Δz wieder ausgeglichen werden muss.

Tabelle 9
Für k = 10 Summanden:

Startwert =      3.04183 96189 29402 21113 5958
Grenzwert =    +0.1 = 1/k
Δz            =     -0.00024 69653 39608 97267 3314 (≈  -1/(4·103))
π               =      3.14159 26535 89793 23846 26433

Für k = 50 Summanden:

Startwert =      3.12159 46525 91010 47851 3187
Grenzwert =    +0.02 = 1/k
Δz            =     -0.00000 19990 01217 24005 0543 (≈  -1/(5·105)
π               =      3.14159 26535 89793 23846 26433

Für k = 100 Summanden:

Startwert =      3.13159 29035 58552 76430 7422
Grenzwert =    +0.01 = 1/k
Δz            =    -0.00000 02499 68759 52584 4779 (≈  -1/(4·106))
π               =      3.14159 26535 89793 23846 26433

Für k = 500 Summanden:

Startwert =      3.13959 26555 89783 23858 4680
Grenzwert =    +0.002 = 1/k
Δz            =     -0.00000 00019 99990 00012 2036 (≈  -1/(5·108)
π               =      3.14159 26535 89793 23846 26433

Für k = 800 Summanden:

Startwert =      3.14034 26540 78073 53479 2936
Grenzwert =    +0.00125 = 1/k
Δz            =     -0.00000 00004 88280 29633 0292(≈  -1/(2.048·109)
π               =      3.14159 26535 89793 23846 26433

Für k = 1000 Summanden:

Startwert =      3.14059 26538 39792 92596 3678
Grenzwert =    +0.001 = 1/k
Δz            =     -0.00000 00002 49999 68750 1035 (≈  -1/(4·109)
π               =      3.14159 26535 89793 23846 26433

Für k = 5000 Summanden:

Startwert =      3.14139 26535 91793 23836 3050
Grenzwert =    +0.0002 = 1/k
Δz            =     -0.00000 00000 01999 99990 0407 (≈  -1/(5·1011)
π               =      3.14159 26535 89793 23846 26433

Für k = 10000 Summanden (auf 40 Kommastellen genau):

Startwert =      3.14149 26535 90043 23845 95183 83374 81537 88679
Grenzwert =    +0.0001 = 1/k
Δz            =     -0.00000 00000 00249 99999 68750 00095 31249 46707 (≈  -1/(4·1012)
π               =      3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971

In der nachfolgenden Tabelle 10 sieht man, dass auch die gerundeten Werte
von Δz einer Systematik unterliegen.

Tabelle 10 (aus Tabelle 9 berechnet)
Δz = -1/(4k3) + 10/(2k)5 - Restglieder
k -1/(4k3) +10/(2k)5 - Restglieder
10 -1/(4·103) + 3.034660391027326686·10-6
100 -1/(4·106) + 3.1240474155222·10-11
1000 -1/(4·109) + 3.12498966·10-16
10000 -1/(4·1012) + 3.12499999046875053293·10-21
 
50 -1/(5·105) + 9.98782759949457·10-10
500 -1/(5·108) + 9.999877946·10-15
5000 -1/(5·1011) + 9.959 ·10-20
50000 -1/(5·1014) + 9.9... ·10-25 (geschätzt)
 
800 -1/(2.048·109) + 9.53669708·10-16
(aus 10/(2k)5 ergibt sich der Wert:
+ 9.53674316406 ·10-16)

Aus den Werten der Tabelle 10 kann folgende Reihe für den Korrekturterm abgeleitet (vermutet) werden:

Formel 3:

Δz = f(k) = -1/(4k3) + 10/(2k)5 - + ...

Schlussfolgerung aus den Resultaten

Aus den Tabellen 9 und 10 ist ersichtlich, dass für den Korrekturterm eine
Funktion Δz = f(k) existiert, die einer geometrischen Reihe gleicht.

Daraus ergibt sich folgende

Behauptung:

Wenn man die alternierende Reihe

π  = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + - ...

für eine gerade Anzahl von k Summanden (möglichst k 1000 und k mod 100 = 0) berechnet,
dann braucht man am Schluss nur den für alle restlichen Summanden ab n = k+1 bis n gültigen
Grenzwert 1/k und einen Korrekturwert Δz (Formel 3) zu addieren, um den genauen Wert für π zu erhalten.

Formel 4:

Obige Behauptung lässt sich in die Formel kleiden:

Formel 4a mit Grenzwert und
          Restglied

wobei gilt:

  1. n und k sind natürliche Zahlen.

  2. k muss geradzahlig sein (k mod 2 = 0),

  3. Δz = f(k) = -1/(4k3) + 10/(2k)5 - + ... (Reihenglieder aus berechneten Werten geschlossen, also nur Vermutung!).

Damit lautet die Formel 4:

Formel 4b mit
          Korrekturgliedern

Leider sind weitere Glieder der Reihe dem Verfasser nicht bekannt.

Hinweise zu den Formeln

  1. Aus den Werten der obigen Tabellen kann nur die Vermutung einer Gesetzmäßigkeit, aber kein Beweis, abgeleitet werden, da die per Taschenrechner ermittelten Werte (selbst bei 25 oder 40 signifikanten Stellen) nicht genau genug sind.
  2. Das Paradoxe am gezeigten Sachverhalt ist, dass man anfangs mit gerundeten Zahlen rechnen muss, um die Systematik zu erkennen.
  3. Der Term 1/k stellt einen Grenzwert der Teilsummen aller restlichen Summanden > k dar.
  4. Der Korrekturterm Δz gleicht die noch verbliebenen Abweichungen aus und lässt sich offensichtlich als alternierende geometrische Reihe entwickeln, die ebenfalls einen Grenzwert hat, der aber dem Verfasser nicht bekannt ist.
  5. Stellt man den zweiten Klammerausdruck der Formel 4 um, so ist die Charakteristik einer geometrischen Reihe deutlich zu erkennen.
    Formel 4c: Geometrische Reihe
          mit Korrekturgliedern
  6. Gelingt es, weitere Glieder und schließlich den Grenzwert dieser Reihe zu ermitteln, dann ist die Berechnung von  π über die Formel 4 sehr schnell möglich. Schon bei k = 500 und zwei Gliedern dieser Reihe ergibt sich der Wert 3.14159265359. Dieser Wert stimmt exakt mit dem vom Taschenrechner ausgegebenen (auf 12 Kommastellen aufgerundeten) Wert für π überein. Mit der Summenformel allein müsste man für diese Genauigkeit k > 5 · 1011 wählen (siehe oben).

Danksagung

Zu Dank verpflichtet ist der Verfasser Herrn Gjermund Skailand für seine longfloat-Library 902 für den HP49, ohne die es nicht möglich gewesen wäre, genaue Zahlenberechnungen mit mehr als 12 signifikanten Stellen mit dem Taschenrechner durchzuführen.


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