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Papierformate - mathematisch gesehen

Der Beitrag beschreibt die genormten Formate, Seitenverhältnisse und Blattgrößen für Dokumente und Zeichnungen. Die Herleitung der Formeln wird angegeben, die Normreihen werden erklärt. Es ist erstaunlich, dass in den Papierformaten so viel Mathematik steckt.

Verfasser: Otto Praxl

Übersicht


Grundbedingung

Bei der Normung der europäischen Papierformate wurde die Grundbedingung aufgestellt, dass für alle Formate das Seitenverhältnis einheitlich sein muss und das nächst kleinere Format sich ohne Verlust durch Halbierung der längeren Seite (Falten eines Blattes) bzw. das nächst größere durch Verdopplung der kürzeren Seite eines Blattes ergeben muss.

Normreihen

Die Standardgrößen für Papierformate in Deutschland sind in der Norm DIN 476 festgelegt.

A Vorzugsreihe der Endformate DIN 476 Teil 1, EN 20216, ISO 216
B Zusatzreihe der Endformate DIN 476 Teil 1, EN 20216, ISO 216
C Zusatzreihe der Endformate DIN 476 Teil 2 - nicht in internationale Norm übernommen
D Zusatzreihe der Endformate nicht in DIN-Norm übernommen

Endformate sind die endgültigen Blattgrößen. Bei Papier für Zeichnungen und Druckerzeugnisse wird zum Endformat noch ein umlaufender Rand für das unbeschnittene Blatt zugegeben. Die so entstehenden Rohformate sind nicht genormt.

Die A-Reihe ist die am meisten verwendete Normreihe. Die Blattgröße DIN-A4 ist das bekannteste Format (Briefbögen, Bücher, Prospekte, Broschüren). Die meisten PC-Drucker sind auf A4 eingerichtet.

B-Reihe und C-Reihe werden als Zusatzformate für Hefte, Blöcke, Bücher, Mappen, Briefhüllen und dgl. verwendet. Interessant ist B5 (176 x 250 mm) als Buchformat.

Außerdem gibt es eine D-Reihe, deren Blattgrößen kleiner als die der A-Reihe sind. Sie werden für Einlegeblätter in Hefte oder Bücher der entsprechenden A-Formate verwendet.

Zwischen den Normreihen gilt für die Blattgrößen folgende Beziehung:

D < A < C < B

Beispiel:

Ein D4-Einlegeblatt (272 × 192) passt in ein A4 Heft.
Ein A4-Briefbogen (297 × 210) passt in einen
C4-Umschlag (324 × 229) und dieser passt in eine
B4-Mappe (353 × 250).

Formate

Die Bezeichnung der Papierformate besteht aus zwei Schriftzeichen, z: B. A4, also

Der Index wird im Schriftbild nicht hoch- oder tiefgestellt, sondern steht in gleicher Größe ohne Leerzeichen neben dem Buchstaben auf der Grundlinie. Der Index weist auf die Blattgröße hin und läuft von 0 bis 9. Zahlen >9 ergeben sehr kleine Blattgrößen, die selten verwendet werden.

Index 0 bezeichnet das Grundformat, z.B. A0
Index 1 ist die Hälfte des Grundformates: A1 = A0 ⋅ 2-1
Index 2 ist ein Viertel des Grundformats: A2 = A1 ⋅ 2-1 = A0 ⋅ 2-2
Index 3 ist ein Achtel des Grundformats: A3 = A2 ⋅ 2-1 = A1⋅ 2-2 = A0 ⋅ 2-3

Der Index i bezeichnet den negativen Exponenten der Halbierungen, A3 ist die dritte Halbierung des Grundformats.

Verhältnis der Seitenlängen

Aus der oben genannten Grundbedingung (Proportionalitätsprinzip) lässt sich das Verhältnis der Blatthöhe a (längere Seite) zur Blattbreite b (kürzere Seite) wie folgt herleiten. FormateIm nebenstehendem Bild werden die Zusammenhänge grafisch gezeigt.

a : b = b : (a/2) , daraus folgt:

b2 = a2/2

Daraus ergibt sich das geforderte Seitenverhältnis

Formel 1:
a = Wurzel2⋅ b

Bei einem Quadrat mit der Seitenlänge b hat die Diagonale die Länge a. Daraus wird zeichnerisch die längere Seite a des Blattes ermittelt (linkes Teilbild).

Im rechten Teilbild kann man aus der Grundgröße und der Diagonale des Formats die davon abstammenden Unterformate grafisch ermitteln.

Vorgang:

Man fängt am linken oberen Punkt bei Format A0 an, fährt längs des Randes nach rechts bis zur Ecke, dann nach unten bis zur Ecke. Von dort in einem Winkel von 45° nach links oben, bis die linke senkrechte Linie geschnitten wird. Das ist die linke obere Ecke von Format A1. Von dort aus fährt man nach rechts bis zum Schnitt mit der Diagonale, dann nach unten. Von der rechten unteren Ecke des Formats A1 fährt man in einem Winkel von 45° nach links oben. Nun wiederholt sich der Vorgang für A2, A3 und A4.

Flächengrößen und Seitenmaße (Formate)

Die Blattgröße a ⋅ b eines Grundformats einer bestimmten Reihe aus {A0, B0, C0, D0} sei mit G0 bezeichnet.
Aus der oben genannten Formel a = Wurzel2⋅ b und G0 = a · b =Wurzel2⋅ b2 berechnet man die Seitenlänge b :

Formel 2:
b = [G0/(Wurzel2)](1/2)

A-Reihe

Die A-Reihe ist die Hauptreihe. Davon leiten sich alle Normformate ab.
Die Norm geht vom Grundformat A0 = 1 m2 = 1000000 mm2 aus.
Aus A0 = Wurzel2⋅ b2 ergibt sich b = 840.89 mm und daraus a = W⋅ b = 1189.2 mm. Diese Maße werden auf ganze mm gerundet. Alle weiteren Formate werden durch Halbierung davon abgeleitet. Aus diesen Maßen ergibt sich folgende Tabelle, wobei das Verhältnis a/b =Wimmer eingehalten wird.

Die Endformate der A-Reihe sind auch die Größen der beschnittenen Zeichenblätter (siehe auch DIN 823). Da die Zeichnungsformate aus der A-Reihe stammen, sind der Vollständigkeit halber auch die nicht genormten Größen der unbeschnittenen Zeichenblätter in der Tabelle angegeben.

Die übergroßen Formate 2A0 (2 m2) und 4A0 (4 m2) bei der A-Reihe gibt es nur in der DIN-Norm, nicht in der ISO-Norm. Sie werden für großformatige Blätter verwendet.

A0 wird hauptsächlich von den Ingenieuren für technische Zeichnungen verwendet. Entweder sie verwenden fertige unbeschnittene A0-Blätter aus Transparentpapier mit vorgedruckten Randlinien und Schriftfeld oder sie schneiden sie von einer 88 cm breiten Rolle ab und zeichnen die Randlinien selber und kleben das Schriftfeld auf. Für Plotter werden Papierrollen verwendet.

Blattgröße
Format

a
mm

b
mm

Flächeninhalt

Bezeichnung

unbeschnittenes
Zeichenblatt
mm × mm
4A0 2378 1682 A0 ⋅ 22 = A0 ⋅ 4 = 4 m2

-

-
2A0 1682 1189 A0 ⋅ 21 = A0 ⋅ 2 = 2 m2

-

-
A0 1189 841 A0 ⋅ 20 = A0 ⋅ 1 = 1 m2 Vierfachbogen 1230 × 880
A1 841 594 A0 ⋅ 2-1 = A0 ⋅ 1/2 Doppelbogen 880 × 625
A2 594 420 A0 ⋅ 2-2 = A0 ⋅ 1/4 Einfachbogen 625 × 450
A3 420 297 A0 ⋅ 2-3 = A0 ⋅ 1/8 Halbbogen 450 × 330
A4 297 210 A0 ⋅ 2-4 = A0 ⋅ 1/16 Viertelbogen = Briefbogen 330 × 240
A5 210 148 A0 ⋅ 2-5 = A0 ⋅ 1/32 Achtelbogen/Blatt 240 × 165
A6 148 105 A0 ⋅ 2-6 = A0 ⋅ 1/64 Halbblatt = Postkarte 165 × 120
A7 105 74 A0 ⋅ 2-7 = A0 ⋅ 1/128 Viertelblatt -
A8 74 52 A0 ⋅ 2-8 = A0 ⋅ 1/256 Achtelblatt -
A9 52 37 A0 ⋅ 2-9 = A0 ⋅ 1/512

-

-
A10 37 26 A0 ⋅ 2-10 = A0 ⋅ 1/1024

-

-

Flächeninhalt und Gewicht sind bei einer Papiersorte zueinander proportional. Deshalb kann man die Gewichte der Blätter eines bestimmten Formats leicht berechnen. Z. B. wiegt ein DIN-A4-Blatt Standardbriefpapier (80 g/m²) genau 80 · 1/16 = 5 g .

B-Reihe

Das Grundformat B0 hat den Flächeninhalt W⋅A0 = 1414213.56237 mm2.

Aus B0 = W⋅ b2 ergibt sich für b = 1000.0000 mm und daraus a = W⋅ b = 1414.21356 mm. Diese Maße werden auf ganze mm gerundet. Alle weiteren Formate werden durch Halbierung davon abgeleitet. Aus diesen Maßen ergibt sich folgende Tabelle, wobei das Verhältnis a/b =Wimmer eingehalten wird.

Blattgröße
Format

a
mm

b
mm

Flächeninhalt

B0 1414 1000 B0 ⋅ 20 = B0 ⋅ 1 = 1.414 m2
B1 1000 707 B0 ⋅ 2-1 = B0 ⋅ 1/2
B2 707 500 B0 ⋅ 2-2 = B0 ⋅ 1/4
B3 500 353 B0 ⋅ 2-3 = B0 ⋅ 1/8
B4 353 250 B0 ⋅ 2-4 = B0 ⋅ 1/16
B5 250 176 B0 ⋅ 2-5 = B0 ⋅ 1/32
B6 176 125 B0 ⋅ 2-6 = B0 ⋅ 1/64
B7 125 88 B0 ⋅ 2-7 = B0 ⋅ 1/128
B8 88 62 B0 ⋅ 2-8 = B0 ⋅ 1/256
B9 62 44 B0 ⋅ 2-9 = B0 ⋅ 1/512
B10 44 31 B0 ⋅ 2-10 = B0 ⋅ 1/1024

C-Reihe

Das Grundformat C0 hat den Flächeninhalt 2(1/4) ⋅ A0 = 1189207.115 mm2.

Aus C0 = w⋅ b2 ergibt sich für b = 1000.0000 mm und daraus a = w⋅ b = 1414.21356 mm. Diese Maße werden auf ganze mm gerundet. Alle weiteren Formate werden durch Halbierung davon abgeleitet. Aus diesen Maßen ergibt sich folgende Tabelle, wobei das Verhältnis a/b =wimmer eingehalten wird.

Blattgröße
Format

a
mm

b
mm

Flächeninhalt

C0 1297 917 C0 ⋅ 20 = C0 ⋅ 1 = 1.189 m2
C1 917 648 C0 ⋅ 2-1 = C0 ⋅ 1/2
C2 648 458 C0 ⋅ 2-2 = C0 ⋅ 1/4
C3 458 324 C0 ⋅ 2-3 = C0 ⋅ 1/8
C4 324 229 C0 ⋅ 2-4 = C0 ⋅ 1/16
C5 229 162 C0 ⋅ 2-5 = C0 ⋅ 1/32
C6 162 114 C0 ⋅ 2-6 = C0 ⋅ 1/64
C7 114 81 C0 ⋅ 2-7 = C0 ⋅ 1/128
C8 81 57 C0 ⋅ 2-8 = C0 ⋅ 1/256
C9 57 40 C0 ⋅ 2-9 = C0 ⋅ 1/512
C10 40 28 C0 ⋅ 2-10 = C0 ⋅ 1/1024

D-Reihe

Das Grundformat D0 hat den Flächeninhalt 2-(1/4) ⋅ A0 = 840896.415 mm2.

Aus D0 = w⋅ b2 ergibt sich für b = 771.105 mm und daraus a = w⋅ b = 1090.5077 mm. Diese Maße werden auf ganze mm gerundet. Alle weiteren Formate werden durch Halbierung davon abgeleitet. Aus diesem Maßen ergibt sich folgende Tabelle, wobei das Verhältnis a/b =wimmer eingehalten wird.

Blattgröße
Format

a
mm

b
mm

Flächeninhalt

D0 1091 771 D0 ⋅ 20 = DC0 ⋅ 1 = 0.841 m2
D1 771 545 D0 ⋅ 2-1 = D0 ⋅ 1/2
D2 545 385 D0 ⋅ 2-2 = D0 ⋅ 1/4
D3 385 272 D0 ⋅ 2-3 = D0 ⋅ 1/8
D4 272 192 D0 ⋅ 2-4 = D0 ⋅ 1/16
D5 192 136 D0 ⋅ 2-5 = D0 ⋅ 1/32
D6 136 96 D0 ⋅ 2-6 = D0 ⋅ 1/64
D7 96 68 D0 ⋅ 2-7 = D0 ⋅ 1/128
D8 68 48 D0 ⋅ 2-8 = D0 ⋅ 1/256
D9 48 34 D0 ⋅ 2-9 = D0 ⋅ 1/512
D10 34 24 D0 ⋅ 2-10 = D0 ⋅ 1/1024

Nicht genormte E-Reihe

Nur der Vollständigkeit halber wird hier noch die nicht genormte E-Reihe angegeben, die in der Größe zwischen den Reihen A und D liegt..
Das Merkmal dieser Reihe ist, dass die Seitenlängen ganze Zentimeter sind., also das Seitenverhältnis a/b = wnur ungefähr stimmt.

Blattgröße
Format

a
mm

b
mm

Flächeninhalt

Seitenverhältnis
a : b

E0 1120 800 E0 ⋅ 20 = E0 ⋅ 1 = 0.896 m2 1.40 : 1
E1 800 560 E0 ⋅ 2-1 = E0 ⋅ 1/2 1.43 : 1
E2 560 400 E0 ⋅ 2-2 = E0 ⋅ 1/4 1.40 : 1
E3 400 280 E0 ⋅ 2-3 = E0 ⋅ 1/8 1.43 : 1
E4 280 200 E0 ⋅ 2-4 = E0 ⋅ 1/16 1.40 : 1
E5 200 140 E0 ⋅ 2-5 = E0 ⋅ 1/32 1.43 : 1
E6 140 100 E0 ⋅ 2-6 = E0 ⋅ 1/64 1.40 : 1
E7 100 70 E0 ⋅ 2-7 = E0 ⋅ 1/128 1.43 : 1

Deutsche Plakatformate

Die Plakattafeln haben eine Größe von 356 x 252 cm (Seitenverhältnis 1.41 : 1), das sind etwa 9 m2.

Verhältnis der Reihen A, B, C, D zueinander

Man setze c = 2(1/8) (= achte Wurzel aus 2) und w= c4

Der Index i sei die laufende Nummer in der Reihe,
z.B. für A2 gilt i = 2, für A4 gilt i = 4.

Für die Grundformate sind die Flächeninhalte in [m2] als geometrische Reihe festgelegt. Die Differenz von 2 der Exponenten von c zeigen dies:

(2D0 = 2⋅ c -2 = c6 )
B0 = c4 = 1.414,
C0 = c2 = 1.189,
A0 = c0 = 1.000,
D0 = c -2 = 0.840
(B1 = c4 /2 = c -4 )

Die Größen der Grundformate dieser Reihen sind nicht zufällig. Die Werte ergeben sich durch das geometrische Mittel der benachbarten Grundformate.

Beispiel: C0 = (B0 ⋅ A0)(1/2)

Die Umformung von Formel 1 und Formel 2 unter Verwendung von i und c ergibt die allgemeinen Formeln, wie aus der Formeltabelle ersichtlich. Die Seitenlängen a und b in [m] ergeben sich dann in Abhängigkeit vom Index i .

Erläuterung der Indizes in der folgenden Formeltabelle:

aBi bedeutet bei Index i = 4: aB4 . Dies ist die (längere) Seite a des Formats B4.
bDi bedeutet bei Index i = 3: bD3 . Dies ist die (kürzere) Seite b des Formats D3.

Formeltabelle

Reihe B

aBi = B0(1/2) ⋅ c4 ⋅ c(-4i-2) = c2 ⋅ c(-4i+2) = c(-4i+4)
bBi = B0(1/2) ⋅ c(-4i-2) = c2 ⋅ c(-4i-2) = c(-4i)

Reihe C

aCi = C0(1/2) ⋅ c4 ⋅ c(-4i-2) = c1 ⋅ c(-4i+2) = c(-4i+3)
bCi = C0(1/2)⋅  c(-4i-2) = c1 ⋅ c(-4i-2) = c(-4i-1)

Reihe A

aAi = A0(1/2)⋅  c4 ⋅ c(-4i-2) = c0 ⋅ c(-4i+2) = c(-4i+2)
bAi = A0(1/2) ⋅ c(-4i-2) = c0 ⋅ c(-4i-2) = c(-4i-2)

Reihe D

aDi = D0(1/2) ⋅ c4 ⋅ c(-4i-2) = c -1 ⋅ c(-4i+2) = c(-4i+1)
bDi = D0(1/2) ⋅ c(-4i-2) = c -1 ⋅ c(-4i-2) = c(-4i-3)

Berechnet man die Seitenlängen nach diesen Formeln in der Reihenfolge B - C - A - D und für aufsteigenden Index i, so ergibt sich folgende Wertetabelle, in der die Werte in den Tabellenzeilen nach der Blattgröße absteigend angeordnet sind.

Wertetabelle

Index i Blattgröße
Format

a × b

= a [m] × b [m]
0 B0 = c4 × c0 = 1.414 × 1.000
0 C0 = c3 × c-1 = 1.297 × 0.917
0 A0 = c2 × c-2 = 1.189 × 0.841
0 D0 = c1 ×c-3 = 1.091 × 0.771
1 B1 = c0 × c-4 = 1.000 × 0.707
1 C1 = c-1 × c-5 = 0.917 × 0.648
1 A1 = c-2 × c- 6 = 0.841 × 0.594
1 D1 = c-3 × c-7 = 0.771× 0.5452
2 B2 = c-4 × c-8 = 0.707 × 0.500
2 C2 = c-5 × c-9 = 0.648 × 0.458
2 A2 = c-6 × c-10 = 0.594 × 0.420
2 D2 = c-7 × c-11 = 0.545 × 0.385
3 B3 = c-8 × c-12 = 0.500 × 0.353
    usw.  

Die Blattgrößen der Formate B0, C0, A0, D0, B1, C1, A1, D1, B2, C2, A2, D2, B3 usw. nehmen in dieser Reihenfolge ab. Man beachte die gleichmäßige Differenz der Exponenten in der Spalte a × b.

Fehlende Werte in der Tabelle können leicht unter Verwendung des Index i mit den Formeln aus der Formeltabelle berechnet werden.

Programm für Taschenrechner

Für die Berechnung der Seitenlängen a und b der Formate eignen sich am besten Taschenrechnerprogramme auf der Grundlage der obigen Formeltabelle. Damit ist der Vorteil verbunden, dass kein Nachschlagen der Blattgrößen in Formattabellen mehr nötig ist.

Für programmierbare HP-Taschenrechner wird der Quelltext des Programm in der Textdatei PFMT.txt (= Papierformate) vorgelegt. Es kann mit jedem Texteditor auf dem PC editiert werden.

Handhabung des Programms PFMT.

Der Quellcode kann unverändert vom PC auf den Taschenrechner überspielt werden. Auf dem Rechner sollte der Programmname PFMT (ohne "txt") lauten (siehe Bild 1). Nach Überspielen des Programms auf den HP-Rechner ist es sofort betriebsbereit. Es ist in der HP-Benutzersprache des Taschenrechners geschrieben und läuft auf HP 49G, HP 49G+ und HP 50g. Für den HP 48GX muss vor dem Überspielen der Befehl R→I aus dem Programm gelöscht werden.

Das Program ist selbsterklärend und fängt die meisten Fehler ab, entsprechende Meldungen werden ausgegeben.
Wird es ohne Argumente gestartet, so fordert es die Eingabewerte an (Bild 2).

Bild1B1 Bild 2B2

Die Eingabe erfolgt für die Formatreihe und den Index getrennt:

Entweder in der Befehlszeile stehen der Buchstabe für Format und der Index durch Leerzeichen getrennt (Bild 3).

Oder, wie in Bild 3 a gezeigt:

Nach dem Start des Programms PFMT durch Drücken der Taste F1, die dem linken Menüfeld zugeordnet ist (wie im Bild 3 gezeigt), wird das Ergebnis als Messagebox auf dem Bildschirm des Taschenrechners angezeigt (siehe Bild 4).

Bild 3B3 Bild 3aB3a Bild4B4

Die Werte

a, b Längen der langen und kurzen Blattseite
c Hilfsvariable für die Berechnung (siehe Formeltabelle)
ii Index (hier als Doppel-ii, weil das einfache i im Taschenrechner
schon als Konstante für die imaginäre 1 vergeben ist),
für ii gilt der Bereich 0 bis 19 (< 20 ist als obere Grenze willkürlich vorgegeben,
kann aber im Quelltext editiert werden.)
fo Formatbuchstabe A, B, C oder D

stehen für die Weiterverwendung als Variablen im Menü des Arbeitsverzeichnisses zur Verfügung (siehe Bild 5).

Wurde ein anderer Buchstabe außer A B C oder D eingegeben oder ein falscher Index, dann wird eine Fehlermeldung gezeigt (Bild 6).

LOE ist das Löschprogamm für diese Variablen (und für sich selbst). LOE und die Variablen werden bei jedem korrekten Durchlauf neu erzeugt.

Bild 5B5 Bild 6B6

Ist der Index von Typ her falsch, (z. B.Buchstabe, Grafikobjekt), wird der falsche Index erkannt und gemeldet (Bild7).

Bild 7
B7

Flageinstellungen:
Während der Programmausführung wird lediglich das Zahlenformat geändert. Das Programm sichert jedoch zu Beginn die Flageinstellungen und schreibt sie am Schluss zurück.


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