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Kreisberechnung mit dem HP-Taschenrechner

Berechnung des Kreises aus drei Koordinaten-Punkten der Kreislinie.
Hier wird gezeigt, wie Vektorfunktionen, insbesondere Skalarprodukt und
Kreuzprodukt zweier Vektoren, zur Kreisberechnung verwendet werden.

Siehe auch Praxelius-Formelsammlung.

Verfasser: Otto Praxl

Inhalt

Einleitung
Das Unterverzeichnis KRBER
Das Programm KREIS
Das Programm SEGMENT

Einleitung

Die im HP-Taschenrechner vorhandenen Vektorfunktionen ermöglichen, Aufgaben der analytischen Geometrie auf einfache Weise zu lösen.
Der Anwender der Programme sollte mit Vektoren vertraut sein und die im HP-Taschenrechner verwendete Darstellung der Vektoren kennen.

Die mathematischen Grundlagen dieser Berechnungen werden hier nicht behandelt, sondern nur die Aufgabenstellung und Programmanwendungen nachfolgend beschrieben.

Kreisberechnung aus den Koordinaten dreier Punkte auf der Kreislinie

Aufgabenstellung

Der Kreis wird durch den Mittelpunkt und einen Punkt auf der Kreislinie eindeutig bestimmt. In vielen Fällen hat man aber den Mittelpunkt nicht, sondern nur die Koordinaten dreier Punkte, die eine Kreislinie bestimmen. In der Geometrie wird dann zwischen jeweils 2 Punkten eine Verbindungslinie (Sehne) gezogen und das Mittellot auf diese gezeichnet. Der Kreismittelpunkt liegt im Schnittpunkt der beiden Lote.

In der analytischen Geometrie der Ebene hat man nur die Koordinaten dieser drei Punkte. Aus diesen sollen rechnerisch Mittelpunktskoordinaten, Radius und andere Werte berechnet werden. Normalerweise ist das ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten. Die vier Unbekannten sind die Mittelpunktskoordinaten xm und ym und die Länge der Lote vom Mittelpunkt auf die beiden Sehnen.

In der nachstehenden Zeichnung ist geometrische Sachverhalt dargestellt. Für alle Vektoren ist jeweils die definierte Richtung angegeben.
Die Vektorbezeichnungen sind kursiv und fett dargestellt.

Zeichnung für Kreisberechnung

Hier wird die Reihenfolge der Punkte P1, P2 und P3 auf der Kreislinie im Uhrzeigersinn definiert. Die Punkte werden als sogenannte Ortsvektoren eingegeben (in der Zeichnung blau dargestellt). Die Ortsvektoren beziehen sich auf den Koordinatenursprung des vorhandenen Koordinatensystems.

Wenn die Koordinaten jedoch so gegeben sind, dass Punkt P3 vom Punkt P2 soweit abrückt, dass er näher an P1 als an P2 ist, dann liegt der Kreismittelpunkt im jeweiligen Segment zwischen Bogen und Sehne und das Lot fällt von der anderen Seite auf die Sehne. Der berechnete Zentriwinkel zwischen den Loten ist jedoch richtig (γ < 180°). Mit einer Skizze der aktuellen Situation kann sich der Anwender Klarheit verschaffen.

Der Verfasser stellt für den HP-Taschenrechner ein Programmverzeichnis KRBER zur Verfügung. Außerdem steht für diese Berechnung ein PC-Programm für MSDOS zur Verfügung.

Taschenrechnerprogramm

Das Unterverzeichnis KRBER

KRBER.txt (Quelltext) und KRBER (ausführbares Programm  ist ein HP-Verzeichnis auf dem Taschenrechner für die Kreisberechnung, das sich nach der Übertragung auf den HP-Taschenrechner als Unterverzeichnis im aktuellen Verzeichnis installiert.
Im Programmverzeichnis KRBER des HP-Taschenrechners werden drei Programme zur Verfügung gestellt:

  1. Das Programm KREIS verwendet Vektorfunktionen und berechnet Elemente eines Kreises, der durch die Koordinaten dreier Punkte der Kreislinie gegeben ist.
  2. Das Programm Ergeb zeigt die Ergebnisse der Kreisberechnung in einem Auswahlmenü an.
  3. Mit dem Programm SEGMENT lässt sich ein Kreissegment aus Stichhöhe und Sehnenlänge berechnen.

Diese Programme sind für vermessungstechnische Berechnungen nützlich. Die Programme laufen im RPN-Modus.

Variablen
          im Unterverzeichnis KRBER

Es enthält folgende Menüfelder, die im Bild zu sehen sind:

KREIS = Kreisberechnung aus drei Punkten
Ergeb
= Ergebnisse der Kreisberechnung mit KREIS
SEGMENT = Programm zur Berechnung eines Kreissegments
SEGBILD = Grafik zu SEGMENT


Systemflags

Für die drei Punkte auf der Kreislinie sind die kartesischen Koordinaten einzugeben, im HP muss deshalb das Flag -16 gelöscht (= zurückgesetzt = 0 für kartesische Koordinaten) sein. Das Programm stellt das Flag -16 durch den Befehl RECT selbst auf den richtigen Wert. In der LCD-Bildschirmanzeige wird dann links oben der Indikator XYZ angezeigt. Die Winkel werden gemäß eingestelltem Format (siehe Indikator links oben) angezeigt:

bei DEG als Altgrad
bei RAD im Bogenmaß
bei GRD in Neugrad (= Gon, Verwendung in der Vermessungstechnik).

Für die Zahlenberechnungen soll das Flag -105 gesetzt (=1) sein, das heißt, der Näherungsmodus muss eingestellt sein, denn nur bei diesem werden alle Zahlen als Werte (mit begrenzter Anzahl von Stellen hinter dem Komma, deshalb "Näherungsmodus") ausgerechnet.
Einfaches Umschalten ab Version 1.16: [rightshift-hold][ENTER].

Außerdem müssen die Flags -2 und -3 gesetzt (= 1 = "numerisch") sein.

Eingabewerte

Wenn das Programm KREIS aufgerufen wurde, ohne vorher die Koordinaten für die Punkte eingegeben zu haben, erhält man einen Hinweis (siehe linkes Bild ). Diese Anzeige verlässt man durch Drücken einer beliebigen Taste.

EingabehinweiseEingabe der Vektoren

Nun werden die Werte für die Punkte als Ortsvektoren eingegeben. Als Beispiel dienen die Vektoren [5. 10.], [10. 10.] und [13. 7.], wie im rechten Bild gezeigt. Der HP legt dann die Variablen P1, P2 und P3 an, die diese Vektoren enthalten. Diese Variablen sind vom Typ 3 (= "Real Array").

Die Vektorwerte müssen richtig eingeben werden: Das sind Dezimalzahlen mit Dezimalzeichen in eckigen Klammern. Wenn nicht der Näherungsmodus, sondern der "exakte" Modus eingestellt ist, übernimmt der HP die Vektoren [5 10], [10 10] und [13 7] mit Integerzahlen (die Variablen P1, P2 und P3 sind dann vom Typ 29 = "Symbolic Vector/Matrix") unverändert. Im Näherungsmodus werden diese Integerzahlen bei der Eingabe in reelle Zahlen (mit Dezimalpunkt) umgewandelt.

Das Programm KREIS berechnet aus den als Vektoren [x y] eingegebenen Koordinaten der Punkte P1, P2 und P3 den Ortsvektor des Kreismittelpunkts M und daraus die übrigen Werte. Das Programm stellt das Ergebnis der Berechnung in den in der obigen Zeichnung angegebenen Variablen zur Verfügung.

Nach der Eingabe wird das Programm KREIS erneut aufgerufen. Es erscheint der Ausgabehinweis (siehe Bild). Diesen Bildschirm durch Drücken einer beliebigen Taste verlassen!.

Ausgabehinweis

Ausgabewerte

Nach Ablauf des Programms enthält das Menü des Arbeitsverzeichnisses die Ergebniswerte in den vom Programm angelegten Variablen gemäß der obigen Zeichnung. Zwei zusätzliche Menüpunkte LOE (= lösche Ergebnis) und LOEP (= lösche Punkte) erleichtern das Löschen: Die berechneten Ergebnisvariablen werden mit LOE gelöscht. Die Variablen P1, P2 und P3 können durch LOEP gelöscht werden, falls die Koordinatenwerte nicht für eine neue Berechnung verwendet oder abgeändert werden sollen.

Außerdem können die Ergebnisse durch ein Auswahlmenü angezeigt werden. Der Aufruf wird über das Menüfeld [Ergeb] ausgelöst und zeigt auf drei Seiten 20 Ergebniswerte.

CHOOSE-Menü Seite 1   CHOOSE-Menü
            Seite 2   CHOOSE-Menü Seite 3

Die meisten Ergebnisvariablen dieser drei Menüseiten sind in der obigen Zeichnung erläutert.

L1 ist ein Vektor, der von P1 nach P2 zeigt. Der Betrag (Länge) dieses Vektors ist in der Variablen LgL1 enthalten.
L2 ist ein Vektor, der von P2 nach P3 zeigt. Der Betrag (Länge) dieses Vektors ist in der Variablen LgL2 enthalten.
N1 und N2 sind Vektoren, die zum Mittelpunkt M zeigen. Die Längen dieser Vektoren stehen in den Variablen LgN1 und LgN2.
Die Fläche des gesamten Kreises steht in der Variablen A.
Der Umfang des Kreises steht in der Variablen U.

MSDOS-Programm

Kreisdaten aus den 3 gegebenen Punkten:

 Punkt 1:  x =     5.0000   y =    10.0000
 Punkt 2:  x =    10.0000   y =    10.0000
 Punkt 3:  x =    13.0000   y =     7.0000

 L1 = Sehnenlänge Punkt 1-2:        5.0000
 L2 = Sehnenlänge Punkt 2-3:        4.2426

 Lot vom MP auf L1:      Lot1 =     5.5000
 Lot vom MP auf L2:      Lot2 =     5.6569
 Winkel Lot1 auf Lot2:  Gamma =    45.0000 Altgrad

 Mittelpunkts-Koordinaten:  x =     7.5000
         - MP -          :  y =     4.5000

 Radius des Kreises:        R =     6.0415
 Umfang des Kreises:        U =    37.9600
 Fläche des Kreises:        A =   114.6681

                Sektor
                  |
 Zentriwinkel    1-2 :   phi1 =    48.8879 Altgrad
 Bogenlänge      1-2 :     B1 =     5.1550 ( 13.58 %)
 Sektorfläche    1-2 :    SK1 =    15.5719
 Segmentfläche   1-2 :     S1 =     1.8219
 Segmentfläche 2-1   :    SD1 =   112.8462

 Zentriwinkel    2-3 :   phi2 =    41.1121 Altgrad
 Bogenlänge      2-3 :     B2 =     4.3350 ( 11.42 %)
 Sektorfläche    2-3 :    SK2 =    13.0951
 Segmentfläche   2-3 :     S2 =     1.0951
 Segmentfläche 3-2   :    SD2 =   113.5730

 Zentriwinkel    3-1 :   phi3 =   270.0000 Altgrad
 Bogenlänge      3-1 :     B3 =    28.4700 ( 75.00 %)
 Sektorfläche    3-1 :    SK3 =    86.0011
 Segmentfläche   3-1 :     S3 =   104.2511
 Segmentfläche 1-3   :    SD3 =    10.4170

 Fläche des Dreiecks 1-2-3 AD =     7.5000

Das  MSDOS-Programm KREIS.EXE berechnet den Kreis auf dem PC. Hier sind für die Vektoren N1, N2, L1 und L2 nur die Längen angegeben.
Die Ausgabe auf dem PC für obiges Beispiel sieht so aus:

 

Das Programm SEGMENT

Einen Kreis kann man auch dadurch bestimmen, dass man die Länge s einer Sehne und in der Mitte dieser Sehne die "Stichhöhe" h zum Kreisbogen vorgibt.
Mit diesen beiden Werten berechnet das Programm SEGMENT den Kreis. Mit SEGBILD wird eine Zeichnung (siehe nachfolgendes linkes Bild) angezeigt. Verlassen der Anzeige durch CANCEL = [ON].

Nach Aufruf des Programms SEGMENT erscheint eine Anzeige mit der Aufforderung, Höhe und Sehne einzugeben (siehe nachfolgendes mittleres Bild). Sie muss mit OK quittiert werden

Geometrische Darstellung des SegmentsEingabeaufforderungErgebnisse der
            Segmentberechnung

Als Beispiel werden h = 2 m und s = 10 m eingegeben, dann wird das Programm gestartet. Das Ergebnis wird angezeigt (siehe rechtes Bild). Die Anzeige in Altgrad wird vom Programm vorgegeben, weil die Ausgabe dafür programmiert ist.

F ist der Flächeninhalt des Segments und
b ist die Bogenlänge.
α ist der Zentriwinkel des Bogens in Altgrad.

Diese Anzeige wird durch Drücken einer beliebigen Taste verlassen!

Diese Werte stehen auch als Variablen zur Weiterverwendung zur Verfügung. Mit LOES (= lösche Segment) löscht man diese Variablen.

Die Werte für das Kreissegment können auch einer Kreissegmenttabelle entnommen werden.


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